Optimización estática, notas de clases


Resumen del proceso de optimización en problemas libres y restringidos de una, dos y mas variables.

1.       Optimización Libre. La función objetivo no está sujeta a ninguna restricción 

Tipo de Optimización
No. De variables en la función objetivo (Z)
Condición necesaria
de primer orden
Condición suficiente
de segundo orden
Optimización Libre
Optimización Libre
n=1

z = f ( x)
1. Identificar los puntos críticos

f’(z) = dy/dx = 0


2. Tomar
la segunda derivada, evaluar los puntos críticos, y revisar los signos.

f′′(a) < 0, la función es cóncava en “a”, por ende un máximo relativo

f′′(a) > 0, la función es convexa en “a”, por ende un mínimo relativo

f′′(a) = 0, el test es inconcluso y es necesario realizar el test de las “derivadas sucesivas”

n=2

z = f ( x1, x2)
1. Las derivadas parciales de primer orden deben simultáneamente ser iguales a cero.


2. Las derivadas parciales de segundo orden deben ser negativas cuando ellas son evaluadas en el punto crítico (a,b) para un máximo relativo y positivas para un mínimo relativo.

Máximo:
fxx , fyy < 0 y fxx , fyy > (fxy)2

Mínimo:
fxx , fyy > 0 y fxx , fyy < (fxy)2

n>2
z = f ( x1, x2, x3 )
dz es ahora

dz = f1dx1 + f2dx2 + f3dx3

Como estos no son nulos,

f1 = f2 = f3 = 0

Es decir, el vector gradientes de primeras derivadas deben igualarse a cero.
Estas condiciones se obtienen del determinante de la matriz Hessiana (simétrica por el teorema de Young).

Máximo:
H1 < 0; H2 > 0; H3 < 0

Mínimo:
H1, H2,..,Hn>0 
Los determinantes hessiano se obtienen de la matriz de segundas derivadas



H1, H2… Hn representan los menores principales de la matriz hessiana

1.       2. Optimización restringida

En optimización restringida, las variables están sujetas a cumplir diferentes condiciones. Aquí se distinguen aquellas restricciones de igualdad y de desigualdad. En este tipo de problemas de optimización se quiere determinar los valores de ciertas variables de decisión” que sujetos a las limitaciones de los recursos, optimizan (maximizan o minimizan, dependiendo del problema) una función (García Donato, 2013). La estructura se resume en:

F(x) es la función objetivo, las restricciones forman el conjunto S o conjunto factible, las variables x = (x1, x2, . . . , xn) representan las variables del problema. Ahora la solución a los problemas consisten en encontrar los problemas que optimizan (P) cumpliendo con las restricciones.

1.1. Restricciones de igualdad

Tipo de Optimización
No. De variables en la función objetivo (Z)
Condición necesaria
de primer orden
Condición suficiente
de segundo orden
Optimización restringida

Restricciones de igualdad
n=2

Max. f (x1, x2)
S.a. g(x1, x2) = k
1. Se establece la función lagrangeana.[1]

F(x1, x2, λ) = f(x1, x2) + λ[ k - g(x1, x2)]

Con la restricción es igual a cero, esto no altera la función objetivo

Los valores críticos se obtienen igualando a cero el vector gradiente.

F1(x1, x2, λ) = 0[2]
F2(x1, x2, λ) = 0
F λ (x1, x2, λ) = 0

2.  Para determinar si los valores críticos corresponden a máximos o mínimos, es necesario utilizar el criterio del Hessiano Orlado.


noté que las g representan la primeras derivadas de las restricciones 

Máximo:


Mínimo:




[1] Nótese que la función de Lagrange estandariza el proceso de convertir el problema restringido a un problema libre.
[2] F1 representa la derivada parcial de la Lagrangiana respecto a su primera variable independiente (x1)

Nota. El λ que comúnmente se llama multiplicador de lagrange, representa (cambiado de signo) la tasa marginal de variación de la función objetico ante una variación del término independiente de la i-esima restricciones.

1.1. Restricciones de desigualdad (Condiciones de Kunh-Tucker)

Hasta ahora las condiciones matemáticas establecían las condiciones a cumplir por cualquier punto (llamado regulares)[1] para considerarse optimo, sin embargo ahora existen algunos puntos especiales (no regulares) que no están sujetos a cumplir las condiciones necesarias.

Tipo de Optimización
No. De variables en la función objetivo (Z)
Condiciones suficientes y
necesarias de primer orden
CONDICIONES DE KUNH-TUCKER
Optimización restringida

Restricciones de desigualdad
n=2

Max. f (x1, x2)
S.a. g(x1, x2) >= k
 X1,x2 >=0[1]
para cada una de las restricciones que no son de signo:



la siguiente tabla para cada una de las componentes de las 
 x = (x1, x2, . . . , xn) del problema


Fuente: Tomado de Donato 2013



[1] En este problema algunas variables pueden estar sujetas a restricciones de signo. Las variables no sujetas a restricciones de signo las llamaremos libres.



[1] Ver página 25 de apuntes de matemáticas, para la clasificación de puntos regulares. 

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