Cálculos de probabilidades a partir de las funciones de una variable aleatoria



Ejercicio de García Donato. Universidad de Valencia, Máster en Banca y Finanzas Cuantitativa, 2013
Ejercicio 1. Se tiene una función de distribución de una variable aleatoria con rango entre [0,20].

a. Dibuje la función de distribución y calcule las probabilidades prob.(x<10) y prob.(x>5)

Usando Excel y conociendo los valores que asume la función en cada rango de x, se puede dibujar la función. Esta función de distribución corresponde a una variable continua, en caso de ser discreto asume una forma escalonada.


Dado que esta función acumula probabilidades, las probabilidades de que la variable se encuentre en una rango determinado viedo dado por:


Por tanto, la probabilidad se obtendría evaluando la función en los puntos determinados, sabiéndose que F(0)=0, porque hasta el cero la función no acumula probabilidades.



b. Utilice la función de densidad para calcular las probabilidades anteriores.

Sabiendo la relación entre las funciones de densidad y la de distribución (la función de densidad es la derivada de la función de distribución (en este caso 1/20)) y conociendo la siguiente relación,


Por tanto, las probabilidades anteriores se calculan utilizando las funciones de densidad:


c. SI la función de densidad fuera ∞(1/20), que valor debería tener alfa.


Aquí se utiliza otra propiedad de las funciones de densidad, se sabe que:


sabiendo lo anterior, se puede ver directamente que el valor de la constante alfa debe ser igual a 1.






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