Resumen del proceso de optimización en problemas libres y restringidos de una, dos y mas variables.
1. Optimización
Libre. La función objetivo no está sujeta a ninguna restricción
Tipo de Optimización
|
No. De variables en la
función objetivo (Z)
|
Condición necesaria
de primer orden
|
Condición suficiente
de segundo orden
|
Optimización
Libre
Optimización
Libre
|
n=1
z = f ( x)
|
1.
Identificar los puntos críticos
f’(z) = dy/dx = 0
|
2. Tomar
la segunda
derivada, evaluar los puntos críticos, y revisar los signos.
f′′(a) <
0, la función es cóncava en “a”, por ende un máximo relativo
f′′(a) >
0, la función es convexa en “a”, por ende un mínimo relativo
f′′(a) = 0,
el test es inconcluso y es necesario realizar el test de las “derivadas
sucesivas”
|
n=2
z = f ( x1, x2)
|
1. Las derivadas
parciales de primer orden deben simultáneamente ser iguales a cero.
 |
2. Las derivadas
parciales de segundo orden deben ser negativas cuando ellas son evaluadas en
el punto crítico (a,b) para un máximo relativo y positivas para un mínimo
relativo.
Máximo:
fxx , fyy < 0 y fxx , fyy > (fxy)2
Mínimo:
fxx , fyy > 0 y fxx , fyy < (fxy)2
|
|
n>2
z = f ( x1, x2, x3 )
|
dz es ahora
dz = f1dx1 + f2dx2 + f3dx3
Como estos
no son nulos,
f1 =
f2 = f3 =
0
Es decir, el
vector gradientes de primeras derivadas deben igualarse a cero.
|
Estas condiciones
se obtienen del determinante de la matriz Hessiana (simétrica por el teorema
de Young).
Máximo:
∣H1∣ < 0; ∣H2∣ > 0; ∣H3∣ < 0
Mínimo:
∣H1∣, ∣H2∣,..,∣Hn∣>0
Los
determinantes hessiano se obtienen de la matriz de segundas derivadas
H1, H2… Hn
representan los menores principales de la matriz hessiana
|
1. 2. Optimización restringida
En optimización restringida, las
variables están sujetas a cumplir diferentes condiciones. Aquí se distinguen
aquellas restricciones de igualdad y de desigualdad. En este tipo de problemas
de optimización se quiere determinar los valores de ciertas variables de
decisión” que sujetos a las limitaciones de los recursos, optimizan (maximizan
o minimizan, dependiendo del problema) una función (García Donato, 2013). La
estructura se resume en:
F(x) es la función objetivo, las restricciones forman el conjunto S
o conjunto factible, las variables x = (x1, x2, . . . , xn) representan las
variables del problema. Ahora la solución a los problemas consisten en
encontrar los problemas que optimizan (P) cumpliendo con las restricciones.
1.1. Restricciones
de igualdad
Tipo de Optimización
|
No. De variables en la
función objetivo (Z)
|
Condición necesaria
de primer orden
|
Condición suficiente
de segundo orden
|
Optimización
restringida
Restricciones
de igualdad
|
n=2
Max. f (x1, x2)
S.a. g(x1, x2) = k
|
1. Se
establece la función lagrangeana.[1]
F(x1, x2, λ)
= f(x1, x2) + λ[ k - g(x1, x2)]
Con la
restricción es igual a cero, esto no altera la función objetivo
Los valores
críticos se obtienen igualando a cero el vector gradiente.
F1(x1, x2, λ) = 0[2]
F2(x1, x2, λ) = 0
F λ (x1, x2, λ) = 0
|
2. Para determinar si los valores críticos
corresponden a máximos o mínimos, es necesario utilizar el criterio del
Hessiano Orlado.
Máximo:
Mínimo:
 |
[1] Nótese
que la función de Lagrange estandariza el proceso de convertir el problema
restringido a un problema libre.
[2] F1
representa la derivada parcial de la Lagrangiana respecto a su primera variable
independiente (x1)
Nota. El λ que comúnmente se
llama multiplicador de lagrange, representa (cambiado de signo) la tasa
marginal de variación de la función objetico ante una variación del término
independiente de la i-esima restricciones.
1.1. Restricciones
de desigualdad (Condiciones de Kunh-Tucker)
Hasta ahora las condiciones
matemáticas establecían las condiciones a cumplir por cualquier punto (llamado regulares)[1]
para considerarse optimo, sin embargo ahora existen algunos puntos especiales (no
regulares) que no están sujetos a cumplir las condiciones necesarias.
Tipo de Optimización
|
No. De variables en la
función objetivo (Z)
|
Condiciones suficientes y
necesarias de primer orden
CONDICIONES DE KUNH-TUCKER
|
Optimización
restringida
Restricciones
de desigualdad
|
n=2
Max. f (x1, x2)
S.a. g(x1, x2) >= k
X1,x2 >=0[1]
|
para cada
una de las restricciones que no son de signo:
la siguiente
tabla para cada una de las componentes de las
x = (x1, x2, . . . , xn) del problema
 |
Fuente: Tomado de Donato 2013
[1] En este
problema algunas variables pueden estar sujetas a restricciones de signo. Las
variables no sujetas a restricciones de signo las llamaremos libres.
[1] Ver página
25 de apuntes de matemáticas, para la clasificación de puntos regulares.
