Las
transformaciones de series temporales en el
análisis de series temporales se realizan con el objetivo de lograr mayor cumplimiento en “las suposiciones de algunas técnicas
estadísticas: normalidad, linealidad, homocedasticidad, etc.” (McCune, 2002). En este hilo, la presente entrada muestra la forma de realizaar las transformaciones más frecuentes en R. Esto, usando la base de datos EuStockMarkets, disponible por default
en R. Esta entrada se segmenta en
diversos bloques: 1) operador de retardos y diferencias absolutas; 2) transformaciones
para estabilizar la varianza; transformaciones relativas; y, 4) transformaciones para encontrar
estacionariedad de las series.
1.1. Operador de retardos
El operador
de retardos (o adelantos) L, se utiliza para obtener la serie con
una determinada cantidad de rezagos (o adelantos). Sea x(t) nuestra serie
temporal, Lx(t)=x(t-1)
(Mikusheva,
2009). La función lag en R permite obtener la serie retardada,
colocándole como argumento la serie sobre la que se desea operar y la cantidad
de retardos sugerida lag(serie,-nlags)
con signo negativo.
# Serie en niveles
x(t)
xt <-
EuStockMarkets[,"DAX"]
# Serie retardada un
periodo: L^1[x(t)] = x(t-1)
xt_retardo1 <- lag(xt, -1)
# Serie retardada
tres periodos: L^3[x(t)] = x(t-3)
xt_retardo3 <- lag(xt, -3)
# Serie adelantada
un periodo: L^-1[x(t)] = x(t+3)
xt_adelanto1
<- lag(xt, 1)
# View data
head(cbind(xt,
xt_retardo1, xt_retardo3, xt_adelanto1))
Time Series:
Start = c(1991,
129)
End = c(1991,
134)
Frequency = 260
xt xt_retardo1 xt_retardo3
xt_adelanto1
1991.492 NA NA NA 1628.75
1991.496 1628.75 NA NA 1613.63
1991.500 1613.63 1628.75 NA 1606.51
1991.504 1606.51 1613.63 NA 1621.04
1991.508 1621.04 1606.51
1628.75 1618.16
1991.512 1618.16 1621.04
1613.63 1610.61
1.2. Transformaciones para
estabilizar la varianza y mejorar la normalidad
La
estabilización de la varianza se alcanza mediante la transformación logarítmica, de raíz, o la de Box-Cox, transformaciones que se utilizan además para acercar la
distribución de la serie al comportamiento normal. Esta es necesaria para
aplicar modelos de series de tiempo como el ARIMA, ya que incluyen este
supuesto en sus estimaciones. La función log permite directamente la
transformación logarítmica de la serie, mientras que la transformación de
Box-Cox está en función del coeficiente lambda. Para esta segunda
transformación creamos una función anidada, llamada tran_box, que realiza la
transformación logarítmica de la serie cuando lambda = 0 y la propuesta por Box-Cox en el
resto de los casos. Luego se presenta un gráfico de serie de tiempo con las
tres transformaciones.
# Transformación logarítmica
log_xt <- log(xt)
# Transformación raíz
log_xt <- sqrt(xt)
# Box Cox Transformation
library(forecast)
lamb.x <-
BoxCox.lambda(xt)
tran_box
<- function(xt,lambda){
if (lamb.x == 0) {
xt_box <- log(xt)
} else {
xt_box <- (xt^lamb.x - 1)/lamb.x
}
}
xt_boxCox <-
tran_box(xt, lamb.x)
data1 <-
cbind(xt, log_xt, xt_boxCox)
plot(data1, col
= "steelblue", lwd = 2,
main=" ")
Verifique
que la transformación logarítmica
comprime el recorrido de los valores, siendo útil en caso de grandes rangos de
recorrido en los valores de las series. En muchos casos, como por ejemplo las
ecuaciones mancerinas donde se necesita la transformación logarítmica de seréis
de ingresos o educación, se aplica la transformación log(x+1) para evitar la indefinición de log(0).
1.3. Tasas de crecimiento y transformaciones
para encontrar estacionariedad de las series
El
tercer tipo de transformación usada en series temporales y presentada en esta
entrada, está referida al cálculo de tasa de variación. La misma puede
establecerse en términos absolutos a partir de la función diff o utilizando el
operador de retardos, de forma que: diff(x)
= x(t) - x(t-1).
# Diferencia absoluta diaria
Dxt <- diff(xt, lag = 1)
Dxt1 <- xt -
lag(xt, -1)
# Prueba si son iguales
all(Dxt==Dxt1)
[1] TRUE
data0 <-
cbind(xt, Dxt)
plot(data0, col
= "steelblue", lwd = 2, main=" ")
Al
generalizar el uso del operador en diferencia, modificando el valor restado en
el operador de diferencia, podemos crear diferencias de otras frecuencias, siendo el
operador en diferencia d igual a diff(x,d)
= x(t) - x(t-d)
(Newton, 1999).
# Diferencia absoluta "Mensual"
Dmxt <- diff(xt, lag = 26)
Dmxt1 <- xt
- lag(xt, -26)
all(Dmxt==Dmxt1)
[1] TRUE
par(mfrow=c(1,2))
plot(Dxt, col =
"steelblue", lwd = 2, main="Diferencia diaria")
plot(Dmxt1, col = "darkred",
lwd = 2, main="Diferencia mensual")
Sin
embargo, dado que la diferencia absoluta está en función de la escala de
medición de las variables, es más común utilizar diferencias relativas: estas
se pueden expresar tanto en logaritmo como en términos discretos. El siguiente
ejemplo muestra como estimar una tasa de crecimiento discreta sobre una serie
temporal y posteriormente se muestran ambas variables:
# Tasa de crecimiento
discreta
tcXt <- (xt-lag(xt, -1))/lag(xt, -1)
tcXt1 <-
diff(xt, lag = 1)/lag(xt, -1)
all(tcXt==tcXt1)
[1] TRUE
# Tasa de crecimiento en logarítmica
tclogXt <-
diff(log(xt))
par(mfrow=c(2,2))
plot(xt, col =
"steelblue", lwd = 2, main="Nivel")
plot(Dxt, col =
"darkred", lwd = 0.5, main="Diff absoluta")
plot(tcXt, col
= "orange", lwd = 0.5, main="tc discreta")
plot(tclogXt,
col = "darkgreen", lwd = 0.5, main="tc continua")
La diferenciación logarítmica permite determinar el orden de integración de la serie, en el sentido de saber cuántas veces se debe repetir el proceso de diferenciación hasta que la serie se vuelve estacionaria. En tal sentido, si diferenciamos la serie una vez antes de que esta se vuelva estacionaria diremos que es integrada de orden 1 (x(t)~I(d=1)).
1.4. Relativizaciones de series
de tiempo
Antes
vimos la tasa de variación relativa como forma de transformar la serie, sin
embargo, existen otras estrategias para relativizar series, entre estas, las que
permiten presentar series de tiempo de distintos órdenes de escala. En los
próximos ejemplos se grafican distintas series en un mismo gráfico (a); y
luego, (b) se hace la misma representación, pero en términos relativizado [Es recomendado ver tutorial del paquete antes de continuar dplyr avanzando].
library(dplyr)
# %>%
library(tidyr)
# gather
library(ggplot2)
data.frame(EuStockMarkets) %>% # Convierte el objeto en df
mutate(date = time(EuStockMarkets))
%>% # recupera las fechas
gather(id, value, -date) %>% # Reshape base
ggplot(aes(x = date, y = value)) + # crea el gráfico
geom_line(aes(color = id), size =
1)+
theme_minimal()
Nota que el segundo
ejemplo utiliza la librería dplyr para realizar el
ejercicio por variable (group_by(id)
%>%)
y posteriormente crea una variable relativizada al dividir cada valor de las
series entre el primer valor observado de dicha serie (mutate(value2
= value/head(value,1))). Este parte del código
crea una variable nueva llamada value2, que guarda el valor
relativo de cada observación respecto al primer valor observado. Note que esta
representación es sumamente útil pare representar series de diversas escalas de
medición.
data.frame(EuStockMarkets)
%>%
mutate(date = time(EuStockMarkets)) %>%
gather(id, value, -date) %>%
group_by(id) %>%
mutate(value2 = value/head(value,1)) %>%
ggplot(aes(x = date, y = value2)) +
geom_line(aes(color = id), size = 1)+
theme_minimal()
En
la línea de código donde se creó la variable value2 pudo colocarse “= scale(value)” para obtener una
normalización de las series. Esto es equivalente hacer (x-mean(x))/sd(x) para cada una de las
series de forma simultaneas. Esta variable modifica la escala de cualquier
variable para indicar el numero de desviaciones estándar en que se encuentra
cada observación de su media.
En
general, otras medidas de relativazación pueden obtenerse insertándola
(separada por comas) en la función mutate, serian (McCune and
Grace, 2002):
Relativización por máximo: value/max(value)
Relativización por mínimo: value/max(value)
Relativización por totales: value/sum(value)
Relativización euclidiana: value/(sum(value^2)^(1/2))
Relativización binaria: as.numeric(value>mean(value))
Variable
normalizada: (value-mean(value))/sd(value)
Algunos
autores plantean obtener el coeficiente de variación para cada una de las
variables para poder determinar el efecto que tienen la relativización de las
variables. El siguiente código muestra cómo obtener el coeficiente de variación
para cada una de las variables en la data.
data.frame(EuStockMarkets)
%>%
gather(id, value) %>%
group_by(id) %>%
summarise("Coef. Var." =
sd(value)/mean(value))
# A tibble: 4 x
2
id
`Coef. Var.`
<chr> <dbl>
1 CAC 0.260
2 DAX 0.429
3 FTSE 0.274
4 SMI 0.493
1.5. Varianza histórica
El
cuadrado de la tasa de variación logarítmica suele asumirse como primer proxy
de la evolución histórica de la volatilidad de las series.
var_xt <-
tclogXt^2
plot(var_xt,
col = "steelblue", lwd = 2, main="varianza")
Note
que esta transformación corresponde a una de potencia, donde la serie
transformada tx(t) =
x(t)^p,
por lo que, a menor valor de p mayor seria la compresión de la escala de la
serie original.
# ----------
xt2 <-
seq(1,10,length.out = 20)
xt2_0 <- xt2^0.75
xt2_1 <-
xt2^0.5
xt2_2 <-
xt2^0.1
plot(xt2,
type="b", pch=18, col="red", xlab="x",
ylab="y")
lines(xt2_0,
pch=18, col="blue", type="b", lty=2)
lines(xt2_1,
pch=18, col="steelblue", type="b", lty=2)
lines(xt2_2,
pch=18, col="lightblue", type="b", lty=2)
Referencias
·
Delieutraz,
P. (2008). Transformaciones estabilizadoras de la varianza para datos de
experimentos de microarreglos. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y
Naturales. Consultada 6/11/19. Disponible en: http://cms.dm.uba.ar/academico/carreras/licenciatura/tesis/delieutraz.pdf.
·
Mangiafico, S. (nd). Transforming Data. Consulted in
6/11/2019. available in: https://rcompanion.org/handbook/I_12.html.
·
McCune
and Grace (2002). Ajustes de datos: transformación de datos. Consulted
in 6/11/2019. available in: http://academic.uprm.edu/~jchinea/cursos/comunidades/transformacion.pdf.
·
Mikusheva, A. (2009). Stationarity, Lag Operator,
ARMA, and Covariance Structure. Time Series Analysis, Fall 2007. MIT. Consulted
in 6/11/2019. available in: https://ocw.mit.edu/courses/economics/14-384-time-series-analysis-fall-2013/lecture-notes/MIT14_384F13_lec1.pdf.
·
Newton, H. (1999). : Transforming Time Series.
Consulted in 6/11/2019. available in: https://www.stat.tamu.edu/~jnewton/stat626/topics/topics/topic5.pdf.
·
STHDA (2017). Plot Time Series Data Using GGPlot. Consulted in 6/11/2019. available in: http://www.sthda.com/english/articles/32-r-graphics-essentials/128-plot-time-series-data-using-ggplot/.
· Walter, T. (2017). Time Series Analysis in R Part 2:
Time Series Transformations. Consulted in 6/11/2019. available in: https://datascienceplus.com/time-series-analysis-in-r-part-2-time-series-transformations/.
